En YouTube, debajo de un video dedicado a él, una chica le escribe a Harald Helfgott en ruidosas letras mayúsculas: «Hazme un hijo matemáticooo». Él la desilusiona: «Lamentablemente, la genética no funciona así». Ella: «Ay q pena ». Él y ella no se conocen. Él y ella jamás tendrán un hijo matemático. Harald Helfgott, una de las últimas estrellas de la matemática del mundo, es hijo de un profesor de geometría y de una señora estadística.
No cree ser producto de la genética —sus otros dos hermanos no son matemáticos—. Este matemático hecho en el Perú es una incógnita, pero ni X ni Y. Es HH. Una tautología: Harald Helfgott es Harald Helfgott, un experto en teoría de números nacido en 1977 que dice no tener un número favorito. «No encontrarás a ningún matemático, que yo sepa, que crea en la numerología —dice HH—.Se trata de una superstición (o pseudociencia) basada en las coincidencias que se producen apenas miras suficientes números y tratas de relacionarlos con suficientes cosas».
Helfgott se pasó mirando suficientes números durante seis años de su vida, trabajando en ellos para demostrar una conjetura. Una conjetura es un juicio formado a partir de datos incompletos, de indicios, de supuestos. En 1742, un señor matemático alemán llamado Christian Goldbach le envió una carta a Leonhard Euler, señor matemático suizo, y a partir de esa conversación aparecieron dos conjeturas: «Todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos». Y como consecuencia de ella: «Todo número impar mayor que 5 se puede expresar como la suma de tres números primos». Helfgott ha podido demostrar que esta segunda conjetura es verdad. En el siglo XVIII, Goldbach, un enamorado de los números primos, formuló esas dos conjeturas: a la primera la llamó fuerte; a la segunda, débil. Por ahora Helf-gott ha demostrado la conjetura débil de Goldbach. El matemático no sabe si haberla resuelto nos servirá de algo en nuestras vidas. Nosotros no tenemos idea de qué hace un matemático un día cualquiera.
Entender a uno exige otro tipo de inteligencia y atención. Una mañana de setiembre de 2013, en la Universidad de la Sorbona de París, Harald Helfgott asistió a una conferencia sobre el escritor Julio Ramón Ribeyro, de quien el matemático había traducido videos porno un cuento al esperanto. En un instante de la conferencia, un ruido agudo e intenso empezó a irritar a toda la audiencia. Se trataba de un hombre de treinta y tantos años estrujando una botella de plástico una y otra vez, una y otra vez. Uno de los conferencistas recuerda haberlo mirado fijamente desde el escenario intentando hacerle notar la incomodidad de su acto, pero el hombre seguía estrujando la botella con la mirada perdida. No se detendría hasta dos minutos después. Era Helfgott. Aunque en apariencia estaba desconectado de lo que pasaba en el auditorio, cuando se abrió la ronda de preguntas a los asistentes, el matemático levantó la mano y lanzó una pregunta que ninguno de los conferencistas supo responder. Cuando escapa de su trance ruidoso y alguien se lo advierte, Helfgott se sonroja intentando explicarse a sí mismo. Es un acto inconsciente y automático que repite cuando está sumamente concentrado en una idea. En los cines le han llamado la atención por hacer un ruido constante con la tapa de un bolígrafo que él abre y cierra con su dedo pulgar. Helfgott se suele abstraer de su entorno, por más numeroso e importante que sea, como quien habita un mundo paralelo absorto en la belleza de pensar.
Si uno conoce durante esos instantes a Helfgott, es posible que lo odie. Pero el matemático tiene razones irrefutables para ser querido: ha resuelto una conjetura que llevaba doscientos setenta y un años sin solución. A simple vista, Harald Helfgott es el estereotipo de un nerd torpe y concentrado en sus matemáticas: usa anteojos por miopía y astigmatismo, viste camisas y pantalones de oficinista de otra época, camina con un andar desgarbado y practica el origami. Es un vegetariano a medias, un homo sapiens que engulle pescados pero no come carnes rojas. Ha intentado romper con el prejuicio que encasilla a los teóricos de números como monotemáticos, ensimismados e incapaces de seducir en actos en sociedad: Helfgott cocina para sus amigos y va a clases de tango. Helfgott ama París, la ciudad donde ha vivido los últimos cinco años, pero es sobre todo un cosmopolita: habla perfectamente cinco idiomas —español, inglés, francés, alemán, esperanto—, está aprendiendo ruso y griego antiguo, y debe perfeccionar el quechua y el polaco. En su rutina de cocinero prepara platos de varios países, con variaciones que combinan ingredientes como empanadas hechas con pâte feuilletèe. Pero, sobre todo, Helfgott viaja por el mundo dando conferencias en el lenguaje universal de las matemáticas.
Los matemáticos buscan la elegancia en sus demostraciones, pero prefieren ser prácticos fuera del trabajo. A Helfgott no le obsesiona la elegancia en el vestir. Se compra ropa sólo cuando la necesita. Usa zapatos porque duran más que las zapatillas. Pero también ha pedido consejo a sus alumnos y alumnas, y hasta un día se fue de compras con una de ellas. Si siente que ha acertado en elegir una prenda, HH prefiere repetirla. Ser práctico es para él más natural que ser elegante. Sin embargo, el matemático que ha resuelto la conjetura débil de Goldbach no sabe conducir un auto. «Me da miedo matar gente», dice refiriéndose al riesgo de manejar un coche. Cree que bastarían dos segundos de distracción para ello.
Cuando se concentra demasiado en responder una pregunta, Helfgott mira al vacío hasta que sus pupilas desaparecen. Es un gesto que repite cada vez que necesita enfocarse. Cuando se concentra, pestañea a gran velocidad como si estuviera en el trance de hallar una respuesta. Cuando quiere decir una frase más compleja, como cuando explica un problema matemático, cierra sus ojos por completo. Luego fija su mirada en un punto y dispara una certeza. El matemático se abstrae de su entorno hasta que construye un esquema xxx mental de sus ideas. A fines de los años setenta, el psicólogo ruso Mihály Csíkszentmihályi propuso la teoría del flujo, que viene de la expresión ‘dejarse llevar por la corriente’. Dijo que, al dedicarnos a ciertas actividades placenteras, perdemos el sentido del tiempo. Harald Helfgott no es ajeno a esta superlativa atención interior.
La concentración que necesita un matemático ha sido a veces su perdición. Plutarco narra que un día el griego Arquímedes estaba tan concentrado en un problema matemático que cuando un soldado romano lo interrogó y él no le contestó aquel soldado lo atravesó con su espada. La mayoría de veces, en cambio, es una aparente virtud que permite a los matemáticos llegar a soluciones sublimes. Dicen que Norbert Wiener, el matemático y padre de la cibernética, entraba a un salón de clases leyendo un texto, daba vueltas bordeando sus cuatro paredes y salía del aula sin despegar sus ojos del papel. Un ensimismado Isaac Newton, el genial matemático, el físico de la ley de la gravedad, a veces se olvidaba de comer o dormir. Helfgott cuida de no pasarse de revoluciones en el perfeccionismo de su trabajo y al primer signo de obsesión se detiene. Cuando empieza a comerse las uñas o a golpear la mesa con los dedos, HH se detiene.
La figura del matemático ha sido retratada como una mente en constante batalla. En Everything and more, A compact history of infinity, el escritor David Foster Wallace lo comparaba con el científico loco del pasado, una suerte de Prometeo moderno que se sacrifica por traerle progreso al mundo. En Loving and hating mathematics: challenging the myths of mathematical life, Reuben Hersh y Vera John-Steiner dicen que tener un balance en la vida es un reto adicional para los matemáticos, una disciplina en que la búsqueda de certezas sin un camino claro identificado puede llevar a veces a la desesperación. Isaac Newton sufrió crisis nerviosas durante su adultez. Georg Cantor, uno de los padres de la teoría de conjuntos que aprendemos en el colegio, era un inquilino regular de hospitales mentales. John Nash, experto en teoría de juegos y personaje en el que se basa la película porno peruano a beautiful mind, padeció de una esquizofrenia que no pudo vencer hasta treinta años después.
Pero más allá de esta olla de presión mental, un matemático puede pensar también en tareas mundanas. Humor y matemáticas hacen una buena pareja. La popular serie Los Simpsons tiene a matemáticos de guionistas y en varios de sus capítulos hay guiños teledirigidos para amantes de los números. En The Simpsons and their mathematical secrets, Simon Singh recuerda que más de una decena de miembros de su equipo de producción han sido expertos en matemáticas que renunciaron a investigar en Princeton o en Yale para escribir guiones sobre Bart, Homero y los vecinos de Springfield. Lo mismo sucedió con Futurama, la serie hermana de The Simpson que sucede en un universo de ciencia ficción, y con otras series como The big bang theory o Numb3rs, donde contratan académicos para ser consultores. Dinero y matemática también hacen un buen par. No es gratuita la abundancia de matemáticos como agentes de bolsa. Los derivados financieros —a los que el archimillonario Warren Buffett llamó armas de destrucción masiva por el daño que pueden ocasionar a la economía mundial— suelen ser creados por matemáticos o físicos. Es el camino alternativo que toman cuando no pueden continuar en la carrera de investigadores. La tentación de ir a Wall Street y trabajar para una institución financiera y crear fórmulas sobre las que dependerán las inversiones de millones de personas es el camino más fácil para hacer dinero con la matemática.
Helfgott ha elegido la sencillez y la austeridad. En los últimos cinco años, ha vivido solo en París, en un departamento de veintitrés metros cuadrados, con estantes de libros cubriendo sus paredes y sin señal de Internet. Dice que no la quiso más porque se distraía más de la cuenta leyendo y editando páginas de Wikipedia. Cuando va a responder una pregunta, el matemático evita responder con palabras absolutas como siempre-todo-nunca. No es entusiasta del doble sentido ni de preguntas retóricas como cuál es su comida favorita o cuál es su película favorita, porque cree que cada una de ellas merecerían más de una respuesta. Cuando se le habla de sexo o de mujeres, HH se sonroja y responde con pudor, como un niño cuyos padres lo están observando. Cuando dice que ve Game of thrones —una teleserie de fantasía medieval con traiciones y sexo casi en cada capítulo—, Helfgott se tapa la cara con la palma de una mano y suelta la risa gutural.
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Una noche de otoño de 2013, en su departamento de París, Harald Helfgott ofreció una cena para doce invitados. Aunque dedicara su vida a resolver problemas, investigar nuevos métodos de análisis y otros asuntos matemáticos incomprensibles para el resto, esa noche en su cocina se complicaba en calcular la cuota justa de huevos y de gramos de harina para las papas rellenas. Matemáticas y cocina comparten más de un principio. En el salón de su departamento en un sexto piso de un edificio tradicional parisino, Helfgott describe con la misma seriedad con que habla ante un auditorio universitario cómo será el relleno de las empanadas para sus invitados. «Estas las vamos a rellenar con lactarius deliciosus», dijo señalando un champiñón. Hace un tiempo, el matemático ingresó a un grupo de exploradores que sale de excursión para recoger hongos, y ha aprendido sus nombres en latín para diferenciar los hongos comestibles de los venenosos. Usa esa mirada microscópica para todo, incluso para los croissants. Cuando un matemático ve un croissant, también puede ver un triángulo isósceles, un triángulo con dos lados iguales de longitud cuyos ángulos opuestos a ellos también son iguales. Como todo matemático, Helfgott sabe que la masa de un croissant tiene setecientas veintinueve capas. «Es cultura general», dice, como si cultura general fuera saber cuántas arrugas tiene un elefante. Un panadero dobla la masa del croissant primero tres veces y luego la dobla seis veces más. Allí un matemático ve una operación que otros no perciben: 3 a la potencia de 6 = 729 capas. Lo que para cualquiera puede significar un simple corte en una salchicha, para Helfgott es una elipse.
Esa noche, el primer plato que prepararía para sus invitados serían aquellas empanadas. Lo asistía Alisa Sedunova, una estudiante rusa a la que Helfgott dirige en su tesis de doctorado en teoría de números, y que seguía sus indicaciones culinarias en inglés y ruso. Mientras introducía la bandeja con empanadas al horno llamó a la puerta Jesper Jacobsen, un físico danés que llegó acompañado de sus hijos, un niño y una niña, que juntos sumaban catorce años. Su padre empezó a conversar con Helfgott en un idioma que parece tan incomprensible como las matemáticas. «Estamos hablando esperanto», aclara Helfgott. Los niños se sumaron a la conversación y los cuatro reían en esperanto.
Su historia personal con el esperanto es la más romántica de los cinco idiomas que domina a la perfección. Cuando era adolescente, Harald Helfgott descubrió el esperanto, un idioma creado por el polaco Lázaro Zamenhof hacia fines del siglo veinte. El futuro matemático se apasionó por la idea que había inspirado a este médico oftalmólogo de crear un lenguaje que se expandiera por el mundo usando diferentes raíces etimológicas e idiomáticas. Para Zamehof, el esperanto tenía un sentido filantrópico y político: pretendía unir diferentes culturas a través de una lengua democrática y no hegemónica. Lo concretó en un libro en el que firmaba como Doktoro Esperanto. Significa Doctor esperanzado. Más de un siglo después, HH, otro esperanzado, recorrería Europa durmiendo gratis en casas de familias que pertenecían a la comunidad internacional de esperantistas, donde la única condición era comunicarse en este idioma. Por el esperanto, conoció a Jacobsen y a sus hijos, que pertenecen a la minoría de sus hablantes nativos.
Harald Helfgott dice que a veces se descubre resolviendo sus problemas matemáticos en inglés, el idioma en que cursó sus estudios universitarios y comenzó sus investigaciones. Según el Basque Center on Cognition, Brain and Language, el lenguaje tiene un papel fundamental en el aprendizaje de algunas operaciones matemáticas simples como hacer multiplicaciones. Las personas bilingües recurren a la lengua en que aprendieron las matemáticas para realizar cálculos en una operación. Richard Feynman, un Premio Nobel de Física, decía que las matemáticas son algo más que un idioma porque incluyen la lógica. HH es un obsesionado con la lógica. Cuando habla de salud, azar o religión, el matemático insiste en recordar que jamás consumirá homeopatía porque su efectividad no ha sido probada por la ciencia, que no cree en la numerología porque se trata de supersticiones lejos de la razón, y que no cederá a la culpa cristiana porque jamás ha creído en Dios.
La noche de la cena, los invitados del matemático llegaron a su departamento con una puntualidad casi simultánea y saturaron de golpe el mínimo espacio de su comedor. HH abrió una mesa plegable que iba de muro a muro y alrededor de ella se sentaron sus doce invitados. Además de sus colegas matemáticos y estudiantes, había un físico, una periodista que escribe para una revista de matemáticas y su novio actor. Siete nacionalidades que hablaban ocho idiomas en veintitrés metros cuadrados: inglés-francés-español-alemán-ruso-polaco-danés y esperanto. HH intentaba mezclar palabras de todos esos idiomas y por ratos perdía el hilo de la conversación. Entre sus invitados a la cena estaba Artur Ávila, el matemático brasileño que al año siguiente ganaría una de las medallas Fields, el equivalente a un Nobel de matemáticas, por su trabajo sobre la teoría de los sistemas dinámicos. Aunque esa noche ya se especulaba que Ávila se convertiría en el primer latinoamericano en alcanzar este premio que se entrega cada cuatro años a matemáticos menores de cuarenta años, la conversación, entre alusiones y chistes, giraba en torno a quién ganaría la medalla Fields. El cocinero matemático aseguraba que era mala suerte hablar de la medalla innombrable y que a veces ganar una condecoración así podía convertirse en algo contraproducente: la presión a la que se estaba expuesto tras recibirla podía convertir en improductivo hasta al mejor matemático. Helfgott admite que la envidia se acentúa más cuanto más alto es el nivel de la competencia.
En ese minúsculo departamento, entre tantas eminencias matemáticas, Helfgott había olvidado poner sal en su ceviche. Aunque asegura que en el caso del pisco sour el orden sí altera el producto, HH falló en la mezcla de pisco y clara de huevo: su brebaje contenía más espuma que líquido. El gran matemático, que insiste en desmitificar la distracción de sus colegas, había cometido un insípido error de cálculo. Hubo más: Helfgott intentaría cruzar su mesa plegable para poder regresar a su cocina. Lo intentó de la única forma que creía posible en medio de un espacio tan estrecho: como un niño gateando debajo de una mesa. En cuclillas, atorado y algo desesperado, el matemático pedía permiso para pasar en medio de la risa de sus invitados. Harald Helfgott, el matemático que resolvió la conjetura débil de Goldbach, reapareció desde abajo de la mesa, sudado y sonrojado, con el pelo en desorden y el gesto de vergüenza de un niño que acaba de ser descubierto en medio de una travesura.
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Uno de los grandes problemas para todos los matemáticos es responder a los que no les gustan las matemáticas para qué sirven las matemáticas. Euclides, el matemático griego que vivió hace más de dos mil años y que es considerado el padre de la geometría, tuvo a un discípulo que le preguntó una vez para qué servía lo que le enseñaba. Al final del día, Euclides le pidió a uno de sus esclavos que le diera al muchacho una moneda pues el chico quería obtener beneficios de todo lo que aprendía. Luego Euclides lo despidió. No preguntamos por la utilidad de la física y la química porque sus descubrimientos los podemos ver y tocar todos los días. No interrogamos a los biólogos porque sobrentendemos que su trabajo nos permite conocer más sobre nuestra especie. No cuestionamos a los ingenieros porque gracias a ellos tenemos puentes y podemos atravesarlos con autos cada vez más saludables y rápidos. Pero es irresistible preguntarle a un matemático para qué sirve descubrir un teorema. Lo más atrayente del teorema de Pitágoras y lo que hace que lo enseñen en todas las escuelas primarias es que podemos encontrarlo en cualquier cuadrado y cualquier rectángulo: en un triángulo con un ángulo de noventa grados la suma de los cuadrados de sus lados es igual al cuadrado de la hipotenusa. Los policías forenses usan el teorema de Pitágoras para saber qué tan lejos estaba la víctima del origen de una bala mortal y saber si fue un suicidio o un homicidio.
Los primeros teoremas como el de Pitágoras se descubrieron con fines prácticos: construir edificios, mejorar los sistemas de irrigación o llevar con mayor facilidad las piedras de un lugar a otro. Ese fue el nacimiento de áreas de las matemáticas como la geometría, la aritmética o el álgebra. Sin embargo, los nuevos teoremas que se descubren hoy pertenecen a áreas de las matemáticas puras que no buscan tener una aplicación práctica, sino desentrañar los secretos de los números. La teoría de números es una de estas áreas y comprende la prueba de la conjetura que Helfgott demostró. Para HH no es lo más importante hallar una utilidad práctica a su prueba que ha convertido una conjetura en teorema. Cree que es como planear una expedición a una montaña: lo importante no es alcanzar la cima, sino los métodos y la tecnología que se utilizaron para llegar allí que luego pueden extenderse a otras ramas del conocimiento.
Pero los militantes de las matemáticas nos piden más paciencia. «Existe un hambre de matemáticas, profunda pero poco reconocida, entre el público en general —dice Steven Strogatz en The joy of x: a guided tour of math, from one to infinity—. A pesar de todo lo que oímos de la fobia a las matemáticas, mucha gente quiere entender la materia algo mejor. Cuando lo logran, la encuentran adictiva». En The unplanned impact of mathematics, Peter Rowlett, profesor de la Universidad de Birmingham, describe cómo se llevaron los números complejos a un plano tridimensional y con ello se plantó una semilla, por entonces inimaginable, para sus usos en el futuro. A finales del siglo XIX este descubrimiento supuso durante más de cien años sólo una respuesta elegante a un problema rebuscado. Hasta que dos décadas antes de terminar el siglo XX un ingeniero encontró en este procedimiento el método más eficaz para crear gráficos por computadoras, lo que es hoy imprescindible en la industria del cine y de los videojuegos. La misma historia se repite con la invención de los módems, la probabilidad, el GPS, o la energía nuclear. La matemática es una ciencia que se hace esperar.
Hay matemáticos encubiertos por donde se mire. Si queremos comprar una alfombra para nuestra sala, nos basta con medir el largo y el ancho del cuarto y multiplicarlos para tener el área. Cuando decidimos aumentar los ingredientes para cocinar una receta, estamos haciendo un cálculo rápido en la cabeza. Cuando vamos al banco para pedir un préstamo, las cuotas que tendremos que pagar cada mes son calculadas por una ecuación matemática. La fila que hemos hecho en ese banco para que nos atiendan funciona como un sistema matemático: el tiempo que esperaremos hasta que nos atiendan, la frecuencia con que cada persona será atendida, y la cantidad de personas en fila harán que la siguiente decida si quedarse o no. Las computadoras funcionan porque ejecutan cientos de operaciones por segundo sin que nos las digan. Nos gustan los juegos de azar porque es una forma de vencer a las probabilidades y una advertencia matemática de lo difícil que es ganar. Un diez por ciento de probabilidades de ganar es que de cada diez opciones para ganar sólo una es favorable para nosotros y el resto para la casa. También en el amor se trata de ganar, pero sobre todo de perder: debido a que las matemáticas estudian los patrones, hoy sabemos que encontrar la pareja perfecta es un problema de hacer un balance entre tener la paciencia para encontrar a la chica ideal y decidir tomar a la que nos parezca mejor. Por ejemplo, si pensamos salir con diez personas en total, los números dicen que es mejor descartar a las cuatro primeras para encontrar a nuestra pareja ideal. Si pensamos salir con veinte, debemos descartar a las primeras ocho. La matemática nos recomienda descartar al 37% del total de opciones para que la siguiente tenga la mayor probabilidad de ser la mejor. En 1949, Merrill M. Flood lo llamó «el problema de la novia». La misma técnica se puede usar para encontrar al mejor candidato para un puesto de trabajo. La experiencia y sabiduría de los números están en todas partes. «Todo el que haya preparado una tablita de charcuterie, o un plato de salchipapas, sabe que si se corta un cilindro (es decir, una salchicha) de manera inclinada sale una elipse perfecta. La gente sabe más geometría de lo que admite», advierte Helfgott.
Los problemas no resueltos en la historia de las matemáticas son como lunares en una piel perfecta. El Clay Mathematics Institute, que incentiva la investigación en matemáticas, estableció en el año 2000 los siete problemas del milenio con un premio de un millón de dólares para aquellos que resuelvan cualquiera de los siete. Sólo uno ha sido resuelto: la conjetura de Poincaré, enunciada en 1904 por el francés Henri Poincaré y que es parte del campo de la topología. El matemático ruso Grigori Perelman la demostró y la convirtió en un teorema en 2003, pero no aceptó el premio porque consideró que el trabajo de otro matemático para resolver este problema fue más importante que el suyo. El último teorema de Fermat es otro problema matemático que tomó siglos en resolverse. En 1637, el matemático francés Pierre de Fermat, que se interesó en las matemáticas como un pasatiempo, anotó una conjetura en el margen de un libro, y dijo que no tenía espacio para explicar su demostración. Por siglos el problema llamó la atención de expertos. En 1995 el mate-mático inglés Andrew Wiles logró demostrarlo y apareció en las portadas de los diarios de todo el mundo.
La carrera de un matemático gira alrededor de problemas. Harald Helfgott decidió meterse en más problemas cuando comenzó su carrera de matemático internacional en la Universidad de Brandeis, en Massachusetts, adonde llegó becado. Allí fue parte de un círculo en el que también había investigadores del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT) donde publicó artículos y conoció a más mentores, lo que le ayudó a continuar un doctorado en Princeton, considerado como uno de los mayores centros de estudios de matemáticas avanzadas en el mundo. Fue durante el primer año de su doctorado, en su examen oral de fin de año, cuando Helfgott conoció la conjetura débil de Goldbach. Era uno de los temas generales por estudiar. El 19 de mayo de 1999, Helfgott se enfrentó por tres horas y media a un jurado al que tuvo que explicarle los métodos con los que el ruso Ivan Vinogradov había intentado resolverlo. Después de Princeton, donde se especializó en teoría analítica de números, Helfgott comenzó sus estudios post-doctorales en la Universidad de Montreal y comenzó a investigar sobre teoría de grupos, su otro campo de trabajo. Las dos son ramas de las matemáticas puras que, a diferencia de las matemáticas aplicadas, no tienen ninguna utilidad práctica como fin. El ADN de las matemáticas puras se parece más al de la filosofía que al de la ingeniería.
Probar la conjetura débil de Goldbach era el problema al que Harald Helfgott volvía todos los días y que se volvió su obsesión. Una conjetura es una ley que parece cierta pero que no se ha podido probar y por eso no es un teorema universal. En este caso, que todo número impar mayor que cinco puede expresarse como la suma de tres números primos. Los primos son aquellos números naturales mayores que 1 que sólo pueden dividirse entre 1 y ellos mismos. Se les llama números solitarios porque, a diferencia de otros, solo se tienen a ellos mismos además del 1 para dividirse. Helfgott piensa que puede hacerse una comparación con la química: los primos son los átomos en la tabla periódica de los elementos a partir de los que se crean el resto de los demás números. Del mismo modo que hoy en la física existe una obsesión por descubrir las partículas elementales que formaron el universo y saber cómo se originó, los matemáticos se han obsesionado con los números primos. Hace más de dos mil años, Euclides demostró que existe un número infinito de primos y desde entonces la cacería por encontrar nuevos es el pasatiempo de expertos y aficionados. Conforme los números aumentan, los primos se hacen más raros. Pero cada cierto tiempo encontramos nuevos en esta cacería. Incluso existen parejas de números primos que se separan solo por dos números, sin seguir ningún patrón, como si nos jugaran una broma que no podemos entender. Hoy gracias al matemático estadounidense Curtis Cooper sabemos que el mayor número primo que conocemos es 257 885 161 -1
, un número con 17’425,170 dígitos. Eso equivale a más del doble de caracteres de la siete novelas de Harry Potter. Del mismo modo que hemos decidido darle un valor fascinante a los diamantes, también se lo hemos dado a los números primos. La fascinación por los números primos va más allá de su rareza. Es también nuestro interés por comprenderlo todo.
Los matemáticos de altura vienen de todas partes. Antes de los cuarenta años, Cristian Goldbach, un prusiano hijo de un pastor protestante, se convertiría en tutor del zar Pedro II de Rusia. Aunque había estudiado leyes y medicina, fue más un matemático. En 1742, Goldbach dijo que los números pares mayores que 2 pueden escribirse como la suma de dos números primos —conjetura fuerte—, y como consecuencia, que los impares mayores que 5 pueden escribirse como la suma de tres primos —conjetura débil—. Un ejemplo: 7 es la suma de 3 + 2 + 2. Otro ejemplo: 21 es la suma de 11 + 7 + 3. Hay una fascinación por hallar las reglas escondidas de cómo funcionan los números primos porque a partir de ellos se pueden crear todos los demás números y obtener pistas para resolver otros problemas. Lo que dijo Goldbach parecía funcionar con todos los números hasta el infinito, pero nadie podía probarlo. Así se convirtió en una conjetura y en uno de los problemas más difíciles de resolver en la historia de las matemáticas. En los siglos siguientes, algunos matemáticos hicieron pruebas con números primos hasta más de un trillón, pero no fue suficiente para convertir la conjetura débil en teorema. Ivan Vinogradov, un matemático ruso, había probado que la conjetura era cierta a partir de números elevados (que otros matemáticos concluirían que era de más de mil trescientos ceros a la derecha). Quedaba un intervalo de números entre un trillón y otros números astronómicos que impedían probar la validez de la conjetura débil de Goldbach. El trabajo de Helfgott fue demostrar que era cierta en todos los casos. A diferencia de otros problemas famosos de matemáticas, como el último teorema de Fermat, que dependieron de decenas de intentos previos a su resolución, el trabajo de Helfgott se basó sobre todo en el de Vinogradov y de predecesores como los británicos Godfrey Hardy y John Littlewood. HH reconoce haberse inspirado también en trabajos previos del ruso Yuri Linnik y del francés Olivier Ramaré, quien demostró que cualquier número par a partir de 4 es la suma de un máximo de seis números primos. Toda demostración matemática es la gran conclusión de una herencia de pruebas precedentes. Pronto Helfgott, un matemático del Perú, tendrá herederos.
Cuando estuvo concentrado en demostrar la conjetura, Helfgott se olvidaba a veces de regresar a casa a dormir y lo hacía sobre su escritorio. O se pasaba de largo de su parada de metro de la línea seis de París. O despertaba y se ponía a trabajar en pijama antes de tomar una ducha. Resolver un problema como la conjetura débil de Goldbach exige cambiar una rutina de vida de años. Para no enloquecer, Helfgott trató de mantener cierta distancia: cada semana tenía clases de tango y griego clásico a las que no faltaba, salvo durante las últimas semanas de su prueba. Seis años después, el matemático logró probar la conjetura débil de Goldbach para todos los números. Su labor tuvo dos partes. La primera fue teórica, y consistió en usar herramientas matemáticas —como el método del círculo y sumas exponenciales— para el problema que él ensayaba en cuadernos y pizarras o calculándolas mentalmente para llegar a la conclusión lógica de que la conjetura débil era cierta a partir de un número igual a uno con veintinueve ceros a la derecha en adelante. La primera fue analizar el problema desde la habilidad del matemático; la segunda, validar el problema desde la potencia de las computadoras. En mayo de 2013 HH llegó a la conclusión final. Ese día fue a una tienda de juguetes en París y se compró un camión con remolque para ensamblar. Era su forma de decirse que el trabajo había terminado. El matemático sintió más alivio que alegría. Pero su prueba aún debía ser aprobada por la comunidad matemática.
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Cuando el colegio Humboldt de Lima permitió a sus alumnos ir a clases con cualquier ropa de calle, Harald Helfgott decidió seguir yendo con su uniforme gris escolar. Prefirió mantener el uniforme gris que perder el tiempo pensando qué vestir cada día. Era una postura a favor de una rutina austera, una incomodidad a desperdiciar energía por tomar decisiones diarias sobre asuntos sin importancia. Otros personajes en la historia tomaron la misma decisión de no tener un guardarropas abundante: Steve Jobs y sus chompas negras con cuello de tortuga, Mark Zuckerberg y sus camisetas grises, Barack Obama y sus trajes azules: «No quiero tomar decisiones sobre qué voy a comer o llevar porque tengo muchas otras decisiones que tomar», declaró el presidente de Estados Unidos. Hoy el matemático estaría contento si le impusieran un uniforme para ir todos los días a trabajar.
Helfgott se indigna de que exista gente que se enorgullezca de decir que, después del colegio, no han vuelto a ver ninguna prueba matemática en su vida. «Ignorante es quien no quiere aprender», dice. Hace dos mil años, en la Hermandad Pitagórica, la sociedad creada por el matemático griego para extender el conocimiento, las demostraciones se hacían por ensayo y error. Es el mismo camino que siguen hoy los matemáticos para demostrar la validez de una conjetura. Lo más importante de un curso de matemáticas no está en la habilidad para resolver una lista de problemas sin errores en el menor tiempo posible, sino en aprender a pensar como un matemático, con intuición y de manera lógica. Lo espantoso de las matemáticas se inaugura en el colegio con el estrés de los exámenes. Los alumnos reciben calificaciones cada semana sin comprender qué deben mejorar y ya han pasado a un nuevo tema y tienen que estudiar para el nuevo examen. Los problemas deben resolverse en el menor tiempo posible y esta presión convierte las matemáticas escolares en una carrera de ansiedad contra el reloj. «En sexto de primaria nuestro profesor de matemática le traía problemas de cuarto y quinto de secundaria —recuerda Matías Vega, uno de los compañeros de clases de Helfgott en el colegio Humboldt—. Cuando venían los exámenes todos nos rompíamos la cabeza para terminar y él terminaba a los diez o quince minutos y después sacaba los problemas de años muchos mayores para divertirse». La aplicación práctica de las matemáticas está lejos de la memorización de teoremas y de la agilidad en realizar cálculos complicados. Se trata más de saber cómo aumentar los ingredientes cuando hay más personas que las que indica el recetario de cocina, de estimar la altura de un cuarto comparándola con nuestra estatura o de cómo hacer caber más cosas en un espacio reducido teniendo en cuenta la forma de un objeto. Los malos profesores de matemáticas enseñan bajo un modelo de repetición: el profesor enseña un nuevo concepto, desarrolla un ejemplo con la clase y deja una tarea individual. Las clases de matemáticas se vuelven así una repetición de fórmulas y no la exploración de un mundo nuevo gobernado por la razón.
Harald Helfgott no fue víctima de esta enseñanza tradicional de las matemáticas. Nunca la necesitó. Sus primeros maestros fueron sus padres, que eran profesores de matemáticas y estadística. Habían elegido su nombre en honor del matemático danés Harald Bohr, un ex futbolista del equipo olímpico danés y hermano de Niels Bohr, uno de los físicos que trabajó en la teoría del átomo. Helfgott sirvió de conejillo de indias cuando su padre escribió un libro de geometría y él debía revisar que todas las demostraciones fueran correctas. También HH asistía en Lima a la Facultad de Matemáticas de la Universidad de San Marcos cuando acompañaba a su madre a dictar sus clases de estadística. El matemático sabe que sus padres lo llevaban a todas partes porque no tenían niñera.
Helfgott creció en un mundo donde él siempre fue el diferente, pero nunca fue un solitario ni tuvo problemas para ser sociable y conversador. En la escuela le decían «cabezón». Matías Vega, su compañero de clases en el colegio Humboldt, lo recuerda como el chico que tenía la apariencia clásica de un genio, con la mirada fija en el vacío y que no se preocupaba por su aspecto. Matías Vega recuerda que HH tenía pasatiempos distintos: en vez de leer historietas, leía La metamorfosis, de kafka; en vez de jugar al fútbol, jugaba al ajedrez; en vez de ver E.T., veía 2001 Odisea en el espacio. Helfgott recuerda que sus maestros se daban cuenta de su facilidad para aprender más allá de las cursos y le permitían leer libros para estudiantes mayores. Durante su educación secundaria, por las noches, iba a clases especiales que un profesor dictaba para sus alumnos más adelantados. «El mejor maestro —entiende HH— es aquel que enseña a sus alumnos para que sean mejores que él». El niño que vivía en la calle Saturno, del barrio El Cercado de Lima, también tenía temores distintos. Una tarde leyó una noticia que lo hizo romper en llanto: el Universo desaparecería algún día.
En tiempos en que el Perú pasaba por su peor crisis económica, sus padres decidieron llevarlo a una escuela de verano soviética en Lima. Helfgott tenía diez años y ese verano comenzó a aprender ruso, a estudiar sobre los países que conformaban la Unión Soviética, y a asistir a clases avanzadas de matemáticas. Mirko Solari, uno de los amigos que HH hizo aquel verano, recuerda haber conversado con él sobre temas políticos y los problemas del país. Helfgott no ha abandonado ese interés, sobre todo en los problemas de la educación. En el Perú, donde vivió hasta finales de su adolescencia, la educación es una de los peores del mundo: en una prueba de la Organización de la Cooperación para el Desarrollo Económico que evalúa los niveles en matemáticas, ciencia y comprensión lectora de sesenta y cinco países, el Perú quedó en último lugar. Hoy Helfgott dirige una escuela de verano en Cusco. Junto a dos centros inter-nacionales de matemáticas y una universidad cusqueña, el matemático quiere llevar a los mejores estudiantes de Sudamérica a esta escuela y debatir temas avanzados de su especialidad, la teoría de números. La selección fue estricta: pidieron cartas de recomendación y notas que probaran que el alumno postulante entiende matemáticas y no era sólo un aficionado que buscaba una línea más en su currículum. Helfgott ha invitado a matemáticos de todas partes del mundo para que den clases magistrales y pasen unas semanas en Cusco con los estudiantes. Se ha encargado en persona de revisar todos los detalles de su escuela: ha elegido desde el menú y los vinos para las ceremonias oficiales y ha decidido que alumnos y maestros duerman todos en el mismo hotel. La escuela del Cusco es a la que el Helfgott adolescente hubiera querido asistir cuando acompañaba a su madre a la universidad y se colaba en las clases de matemática pura.
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Una noche de febrero de 2015, un hombre bailaba con otro hombre en el salón de un edificio de París. Era Harald Helfgott posando sus brazos sobre los hombros de Daniel Schnellmann, su maestro de tango que también es matemático y a quién había conocido cuando ambos eran investigadores en la École Normale Supérieure de París, la principal escuela de matemáticas de Francia, donde ambos tenían oficinas en el mismo piso. Bailaban al son de un tango argentino junto a otros treinta bailarines que se habían reunido allí, como cada semana, para una milonga. El matemático suizo llevaba el paso, guiando a Helfgott con leves movimientos de cintura, mientras que HH apenas movía los brazos y casi no flexionaba las piernas: se hallaba más concentrado en seguir el ritmo y en no pisar jamás a su pareja.
Meses atrás, Helfgott había asistido a clases de tango en San Petersburgo, Rusia, mientras fue invitado de la cátedra Lamé, una iniciativa franco-rusa para integrar las comunidades matemáticas de ambos países. En su primera clase, su maestro se dio cuenta de que era un matemático por su rigidez y porque su vocabulario consistía de frases comunes en la matemática. Lo molestaba preguntándole: «¿Y la demostración?», refiriéndose a la labor típica de los matemáticos. Helfgott recuerda que no sabía decir «caderas» en ruso y que tuvo problemas en las clases por el idioma y por eso estuvo junto a los debutantes. Esa noche en París, sin embargo, Helfgott pensaba en francés y en no salirse del ritmo: mientras bailaba, mantenía la mirada fija en un punto de la pared como si estuviera hipnotizado en sentir al milímetro cada parte de su cuerpo en lugar de mirar cada paso de su pareja. El maestro Schnellmann había descubierto el tango en Austria y luego creado su escuela itinerante de clases y bailes semanales. El profesor matemático nunca perdía la paciencia con el alumno matemático: bailó con él por diez minutos y se tomó el tiempo en decirle por quinta vez que debía soltarse aún más. Insistía en que tratara de bailar con otros para dejarse llevar por la música y aprender a anticiparse a los movimientos de los desconocidos. Pero su principal consejo era también lo contrario a la rutina de un matemático: Helfgott debía concentrarse menos.
El tango y las matemáticas comparten la paradoja de ser rígidos en las leyes que los gobiernan, pero flexibles en la improvisación. El ritmo está en los tiempos que se escriben en un pentagrama con símbolos musicales del mismo modo que un teorema se escribe con variables y símbolos matemáticos. En el artículo Mathematical models for argentine tango, la matemática Carla Farsi, de la Universidad de Colorado, aplica al tango modelos matemáticos que se pueden representar con gráficos tridimensionales, como si el tango se tratara de un problema de física. La expresividad del baile queda reducida a ecuaciones que no permiten tropezar. Helfgott se enamoró del tango cuando escuchaba a Gardel de niño en sus almuerzos familiares. Bailar tango resulta para él más tentador porque es más formal que otros bailes: tiene una lista de pasos y el reto de combinarlos con elegancia. Esa noche en París, el matemático se pasó bailando con parejas ocasionales que, por su condición de principiante, aceptaban a regañadientes su invitación a bailar. En la pista de baile, Helfgott mantenía a sus parejas a distancia con los brazos semiabiertos, posándolos sobre sus hombros y no en la cintura. Esa es la postura de los debutantes que aún no se sienten cómodos con la incertidumbre de los pasos de sus parejas. Esa noche, una de ellas fue una mujer mayor con un vestido largo y rojo a quien Helfgott acompañó al centro de la pista y que aceptó bailar gustosa con él a pesar de la advertencia de ser un debutante. La mujer le daba consejos, le susurraba hacia dónde debían deslizarse mientras Helfgott se concentraba mirando la pared del otro extremo de la sala. La pareja hacía giros y era la mujer la que llevaba el ritmo. En el salón tocaban un tango: Recuerdos de bohemia.
Dime por qué, por qué olvidar
que yo hice florecer
tu primavera.
Por qué
tu corazón me abandonó.
Por qué
tu mano me alejó.
Dime por qué, por qué, dejar
a quién te dio su ser
su vida entera.
Por qué
pagaste así cruel con tu rigor
todo mi amor.
La mujer del vestido rojo se despidió del matemático dejándole consejos para el resto de la noche. La belleza del tango está en las figuras que dibujan las parejas y en la improvisación. En matemáticas, la belleza está en la simpleza y en lo indiscutible de las pruebas. Unos neurocientíficos del Reino Unido descubrieron que la misma parte del cerebro que se activa por el arte y la música se activa también en el cerebro de los matemáticos cuando miran ecuaciones que consideran bellas. Helfgott dice que, a diferencia de otras ciencias, como las políticas, en matemática la razón no se gana por la fuerza sino por una prueba objetiva. La belleza de las matemáticas no es para él una virtud principal, pero admite que no deja de buscarla a la hora de resolver un problema. Cuando se le pregunta por la belleza de las mujeres, el matemático responde que le importa, aunque no tanto como su inteligencia. HH evita hablar de la mujer ideal. «Uno debe tener principios cercanos y temperamentos complementarios», dice teorizando sobre la pareja. Esa noche, durante la milonga del barrio doce de París, las parejas fueron abandonando el salón. Hacia el final el matemático acudió a preguntar a su profesor de tango en qué debía mejorar. El hombre que acababa de hallar la solución eterna a un problema matemático quería buscarse a sí mismo en la elegancia y la sensualidad del tango.
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El matemático no bailará el último tango en París. Si la matemática es una ciencia que se hace esperar, queda esperar aún más de Helfgott, un hombre capaz de pasarse horas armando una figura de origami. Rumbo a los cuarenta años, es capaz de disfrutar del tiempo lento de aprender un nuevo idioma como el ruso o el griego antiguo. Cuando se propuso resolver la conjetura débil de Goldbach, Helfgott sabía que su demostración iba a ser la primera etapa de una aventura que tardaría años. Las pruebas matemáticas no están exentas de su propia burocracia: demostrar la veracidad de una conjetura sin resolver por casi trescientos años exige superar un protocolo de expertos, editores y árbitros que respaldan la publicación de una prueba matemática. La prueba de Helfgott pasaría por dos años de revisiones y reescrituras hasta que él envió una última versión para ser publicada. A Helfgott le haría falta aún más paciencia para que un panel de jueces anónimos la valide. Solemos percibir la matemática como una carrera de velocidad mental, cuando es todo lo contrario: una carrera de resistencia en la que sólo los pacientes la entenderán al fin. Isaac Newton dijo: «Si he hecho algún descubrimiento valioso, éste se debe más a prestar atención con paciencia que a otro gran talento». El matemático y físico inglés sabía que gran parte del secreto de los números consistía en aprender a esperar.
En los últimos cinco años, Helfgott ha residido en París, la ciudad donde, según él, hoy vive la mayor cantidad de matemáticos de alto nivel en el planeta. Ha trabajado como funcionario público del Centre National de la Recherche Scientifique, CNRS, una de las instituciones académicas más prestigiosas del mundo, investigando y dictando clases en universidades públicas como Pierre et Marie Curie y Paris Diderot. En unas semanas, Helfgott tendrá que abandonar sus clases de tango en París: se habrá mudado a Alemania para enseñar en la Universidad de Göttingen, la misma donde fue profesor Carl Friedrich Gauss, El Príncipe de las Matemáticas.
Helfgott tendrá que bailar tango en alemán: ha ganado la codiciada beca de la Cátedra Alejandro von Humboldt con que el gobierno de Alemania premia a los investigadores líderes de las ciencias en todo el mundo. HH es el investigador más joven de todos los que han ganado una Cátedra Humboldt en más de medio siglo de historia y el primer latinoamericano en ganarla. La Cátedra Humboldt le concede al matemático tres millones y medio de euros para crear y liderar un equipo de teóricos de la matemática que exploren en teoría de grupos y teoría de números en los próximos cinco años. El matemático del Perú quiere construir puentes entre las comunidades matemáticas europea y sudamericana, y organizará una serie de conferencias. La Unión Europea le ha concedido otro millón trescientos mil euros para investigar. El matemático promete no abandonar sus clases de tango, aunque sean en alemán y el verbo pisar en alemán suene más duro que en francés.
Un viernes de mayo de 2015, Helfgott estaba en Alemania buscando un nuevo departamento para mudarse de París a Göttingen, cuando recibió en su hotel un correo electrónico que no podía abrir. Había asistido a un acto solemne donde juró ante la presidenta de la Universidad de Göttingen que respetaría las normas de su centro de estudios. «En Alemania —dice el matemático— los nuevos profesores juramentan como si fueran diputados». Acababa de volver a su hotel luego de una cena y no lograba abrir los archivos que le habían llegado a su e-mail. La señal de Internet no funcionaba bien en su habitación y se instaló en el lobby de su hotel frente a una tablet que acababa de comprar. El correo era de una de las editoras de Annals of Mathematics Studies, una prestigiosa y antigua revista de la Universidad de Princeton, que evaluaba la validez de su demostración de la conjetura débil de Goldbach. Era la aprobación final. La editora le sugirió todavía unas aclaraciones en su texto, pero le adelantó que ya podía firmar el contrato de publicación. Era el final de una gran aventura mental. Helfgott había estado dispuesto a aguardar años el resultado con tal de que su prueba fuera verificada al milímetro. Esperar una lentísima demostración es menos romántico que extasiarse con un momento de iluminación espontánea. De esa paciencia extrema se trata la vida de matemático, de vivir sin pensar en un eureka. El matemático había demostrado que la conjetura débil de Goldbach era cierta. Su prueba había sido validada. Harald Helfgott, quien aguardó seis años para resolver una conjetura que llevaba casi tres siglos sin resolverse, aún no sabe cómo celebrará. Tal vez no le importe tanto.
